Определение понятия функция

У этого термина существуют и другие значения, см. Отображе́ние или фу́нкция лат. Наиболее распространенная трактовка понятия функции состоит в его отождествлении с понятием отображения: Определение. Пусть и — два. Законсогласно которому каждому элементу поставлен в соответствие единственный элементназывается отображением множества в множество или функцией, заданной на со значениями в. Отображения обозначают так: или для отображениямножества в множество. При этом: Множество тогда называется о́бластью определе́ния отображения обозначается Определение понятия функция f или D x. Множество — о́бластью значе́ний отображения. Элемент называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной, Элемент — значе́нием или зави́симой переме́нной. Функции считаются равными, если у них одинаковые области определения и значений и если они определяются одним правилом. Например, все три следующие функции различны:,При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств и. Если и — числовые множества, такие, как илито отображение называют функцией. Если или многомерны, например, илито отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если — произвольной природы, а — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины:,и т. Способы задания функции Словесный игрек равно целая часть от х. Аналитический Графический С помощью графика. Таблицы Функция задается таблицей значений. Смежные понятия Сужение определение понятия функция. Пусть дано отображениеи. Тогда суже́нием функции на называется функцияопределяемая равенством. Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции. Тогда о́бразом множества называется подмножествоопределяемое равенством. Множество называется образом отображения. Прообраз Пусть задано отображениеи. Тогда называется проо́бразома называется о́бразом. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элемент может не иметь прообразов либо иметь один или несколько. Пусть дана функциягде. Тогда не имеет прообразов; имеет единственный прообраз ; имеет два прообраза: и. Полный прообраз элемента Пусть задано отображениеи. Тогда множество называется по́лным проо́бразом элемента. Полный прообраз множества Определение понятия функция. Тогда проо́бразом множества называется подмножествоопределяемое равенством. Свойства прообразов и определение понятия функция ; График Пусть дано отображение. Тогда его гра́фиком называется множествогде обозначает и. График непрерывной определение понятия функция является кривой на двумерной плоскости. Графиком непрерывной функции является поверхность определение понятия функция трёхмерном пространстве. Исторический очерк Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе «Введение изучение плоских и телесных мест»опубл. По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении «место» у Ферма означает линию. Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» также указывает на ясное представление о определение понятия функция зависимости двух переменных величин. У «Лекции по геометрии», в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования интегрирования разумеется, без употребления самих этих терминов. Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в у и притом не совсем в современном его понимании. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой например, абсциссы её точек. В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» термин «функция» не употребляется. Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у : «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит определение понятия функция задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определенииданном им во «Введении в анализ бесконечных» : «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и определение понятия функция они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых». Всё же в отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решениепредложенное В основе решения лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его она может быть задана определение понятия функция, «начертанным свободным движением руки». Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил ввсегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд. Однако другие аргументы Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении. С определение понятия функция уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному интегральному исчислению» — говорится: «Всякая определение понятия функция, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» имеется фраза: «Функция обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениямсодержащимся между и какой-либо величиной ». Близко к современному и определение : «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от называть число, которое даётся для каждого и вместе с постепенно изменяется. Значение функции может быть дано определение понятия функция аналитическим определение понятия функция, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в определение понятия функция смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемоенеоднократно предлагалось и до него. Основы математического анализа, ч. Эта статья определение понятия функция материал из статьи русской Википедии.